群 环 域 模

以下是群、环、域和模的基础定义。这些都是抽象代数中的重要概念，每个都有不同的代数结构和运算规则。

1. 群（Group）

群是一个集合和一个二元运算的代数结构，满足以下条件：

• 封闭性：对于任意 $a,b\in G$，有 $a\cdot b\in G$

• 结合律：对于任意 $a,b,c\in G$，有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

• 单位元：存在一个单位元 $e\in G$，对于任意 $a\in G$，有 $e\cdot a=a\cdot e=a$

• 逆元：对于任意 $a\in G$，存在一个逆元 $a^{-1}\in G$，使得 $a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e$

如果还满足交换律 $a\cdot b=b\cdot a$ 对于所有 $a,b\in G$，则称为交换群或阿贝尔群

例子：

• 整数集合 $\mathbb{Z}$ 在加法下构成一个交换群，单位元是 0，逆元是负数
• 非零实数集合 ${\mathbb{R}}^{\ast }$ 在乘法下构成一个群，单位元是 1，逆元是数的倒数

2. 环（Ring）

环是一个集合，配备了两个二元运算：加法和乘法。环中的元素必须满足以下条件：

• 加法构成交换群：环中的加法形成一个交换群（有单位元、逆元和交换性）

• 乘法封闭性：环中对任意元素 $a,b\in R$，有 $a\cdot b\in R$

• 乘法结合律：对于任意 $a,b,c\in R$，有 $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$

• 乘法分配律：乘法对加法满足分配律，即 $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ 和 $(a+b)\cdot c=a\cdot c+b\cdot c$

如果乘法也满足交换律 $a\cdot b=b\cdot a$ 对于所有 $a,b\in R$，则称为交换环

环不要求每个非零元素有乘法逆元，也不要求乘法有单位元

例子：

• 整数集合 $\mathbb{Z}$ 在加法和乘法下构成一个交换环
• 矩阵集合 $M_n(\mathbb{R})$ （实数 $n\times n$ 矩阵）在加法和矩阵乘法下构成一个环（不是交换环，因为矩阵乘法不交换）

3. 域（Field）

域是一个环的特例，它要求在加法和乘法下满足更强的条件。域中的元素不仅可以进行加法和乘法，还能进行除法（除了除以零）。一个域必须满足以下条件：

• 加法构成交换群：域中的加法构成一个交换群，单位元为 0

• 乘法构成交换群（除零元外）：域中的非零元素在乘法下构成一个交换群，单位元为 1。对于任意非零元素 $a\in F$，存在一个乘法逆元 $a^{-1}$，使得 $a\cdot a^{-1}=1$

• 分配律：乘法对加法满足分配律

例子：

• 实数集合 $\mathbb{R}$ 和有理数集合 $\mathbb{Q}$ 都是域
• 复数集合 $\mathbb{C}$ 也是一个域
• 有限域 ${\mathbb{F}}_p$，其中 $p$ 是素数，定义在模 $p$ 加法和乘法上，是一个有限域

4. 模（Module）

模是向量空间的广义概念。与向量空间类似，模中的元素可以进行加法和标量乘法，但模中的标量来自一个环而不是域。模的定义类似于向量空间，但它只要求标量来自环，因此模比向量空间更广泛。

模的定义：

一个模是一个集合 $M$，配备了两个运算：

1. 加法：模中的元素可以相加，满足交换群的公理。
2. 标量乘法：环中的标量可以与模中的元素相乘，满足结合律和分配律。

例子：

• 整数集合 $\mathbb{Z}$ 在自身上构成一个模。
• 矩阵空间 $M_n(\mathbb{Z})$ 是一个模，其中标量来自于环 $\mathbb{Z}$，矩阵中的元素来自于整数。

总结：

• 群：一个集合，定义了一个封闭的二元运算（加法或乘法），并且每个元素都有逆元
• 环：包含两个运算（加法和乘法），但不要求每个非零元素都有乘法逆元
• 域：一个特殊的环，非零元素在乘法下也构成群，即可以进行除法（除零外）
• 模：类似于向量空间，但标量来自环而非域，因此更为广泛