以下是群、环、域和模的基础定义。这些都是抽象代数中的重要概念,每个都有不同的代数结构和运算规则。
1. 群(Group)
群是一个集合和一个二元运算的代数结构,满足以下条件:
封闭性:对于任意
,有结合律:对于任意
,有单位元:存在一个单位元
,对于任意 ,有逆元:对于任意
,存在一个逆元 ,使得
如果还满足交换律
对于所有 ,则称为交换群或阿贝尔群
例子:
- 整数集合
在加法下构成一个交换群,单位元是 0,逆元是负数 - 非零实数集合
在乘法下构成一个群,单位元是 1,逆元是数的倒数
2. 环(Ring)
环是一个集合,配备了两个二元运算:加法和乘法。环中的元素必须满足以下条件:
加法构成交换群:环中的加法形成一个交换群(有单位元、逆元和交换性)
乘法封闭性:环中对任意元素
,有乘法结合律:对于任意
,有乘法分配律:乘法对加法满足分配律,即
和
如果乘法也满足交换律
对于所有 ,则称为交换环
环不要求每个非零元素有乘法逆元,也不要求乘法有单位元
例子:
- 整数集合
在加法和乘法下构成一个交换环 - 矩阵集合
(实数 矩阵)在加法和矩阵乘法下构成一个环(不是交换环,因为矩阵乘法不交换)
3. 域(Field)
域是一个环的特例,它要求在加法和乘法下满足更强的条件。域中的元素不仅可以进行加法和乘法,还能进行除法(除了除以零)。一个域必须满足以下条件:
加法构成交换群:域中的加法构成一个交换群,单位元为 0
乘法构成交换群(除零元外):域中的非零元素在乘法下构成一个交换群,单位元为 1。对于任意非零元素
,存在一个乘法逆元 ,使得分配律:乘法对加法满足分配律
例子:
- 实数集合
和有理数集合 都是域 - 复数集合
也是一个域 - 有限域
,其中 是素数,定义在模 加法和乘法上,是一个有限域
4. 模(Module)
模是向量空间的广义概念。与向量空间类似,模中的元素可以进行加法和标量乘法,但模中的标量来自一个环而不是域。模的定义类似于向量空间,但它只要求标量来自环,因此模比向量空间更广泛。
模的定义:
一个模是一个集合
- 加法:模中的元素可以相加,满足交换群的公理。
- 标量乘法:环中的标量可以与模中的元素相乘,满足结合律和分配律。
例子:
- 整数集合
在自身上构成一个模。 - 矩阵空间
是一个模,其中标量来自于环 ,矩阵中的元素来自于整数。
总结:
- 群:一个集合,定义了一个封闭的二元运算(加法或乘法),并且每个元素都有逆元
- 环:包含两个运算(加法和乘法),但不要求每个非零元素都有乘法逆元
- 域:一个特殊的环,非零元素在乘法下也构成群,即可以进行除法(除零外)
- 模:类似于向量空间,但标量来自环而非域,因此更为广泛