群 环 域 模

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Published

January 7, 2025

以下是的基础定义。这些都是抽象代数中的重要概念,每个都有不同的代数结构和运算规则。

1. 群(Group)

是一个集合和一个二元运算的代数结构,满足以下条件:

  • 封闭性:对于任意 \(a, b \in G\),有 \(a \cdot b \in G\)

  • 结合律:对于任意 \(a, b, c \in G\),有 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

  • 单位元:存在一个单位元 \(e \in G\),对于任意 \(a \in G\),有 \(e \cdot a = a \cdot e = a\)

  • 逆元:对于任意 \(a \in G\),存在一个逆元 \(a^{-1} \in G\),使得 \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\)

如果还满足交换律 \(a \cdot b = b \cdot a\) 对于所有 \(a, b \in G\),则称为交换群阿贝尔群

例子:

  • 整数集合 \(\mathbb{Z}\) 在加法下构成一个交换群,单位元是 0,逆元是负数
  • 非零实数集合 \(\mathbb{R}^*\) 在乘法下构成一个群,单位元是 1,逆元是数的倒数

2. 环(Ring)

是一个集合,配备了两个二元运算:加法和乘法。环中的元素必须满足以下条件:

  • 加法构成交换群:环中的加法形成一个交换群(有单位元、逆元和交换性)

  • 乘法封闭性:环中对任意元素 \(a, b \in R\),有 \(a \cdot b \in R\)

  • 乘法结合律:对于任意 \(a, b, c \in R\),有 \((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)

  • 乘法分配律:乘法对加法满足分配律,即 \(a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c\)\((a + b) \cdot c = a \cdot c + b \cdot c\)

如果乘法也满足交换律 \(a \cdot b = b \cdot a\) 对于所有 \(a, b \in R\),则称为交换环

环不要求每个非零元素有乘法逆元,也不要求乘法有单位元

例子:

  • 整数集合 \(\mathbb{Z}\) 在加法和乘法下构成一个交换环
  • 矩阵集合 \(M_n(\mathbb{R})\) (实数 \(n \times n\) 矩阵)在加法和矩阵乘法下构成一个环(不是交换环,因为矩阵乘法不交换)

3. 域(Field)

是一个环的特例,它要求在加法和乘法下满足更强的条件。域中的元素不仅可以进行加法和乘法,还能进行除法(除了除以零)。一个域必须满足以下条件:

  • 加法构成交换群:域中的加法构成一个交换群,单位元为 0

  • 乘法构成交换群(除零元外):域中的非零元素在乘法下构成一个交换群,单位元为 1。对于任意非零元素 \(a \in F\),存在一个乘法逆元 \(a^{-1}\),使得 \(a \cdot a^{-1} = 1\)

  • 分配律:乘法对加法满足分配律

例子:

  • 实数集合 \(\mathbb{R}\) 和有理数集合 \(\mathbb{Q}\) 都是域
  • 复数集合 \(\mathbb{C}\) 也是一个域
  • 有限域 \(\mathbb{F}_p\),其中 \(p\) 是素数,定义在模 \(p\) 加法和乘法上,是一个有限域

4. 模(Module)

是向量空间的广义概念。与向量空间类似,模中的元素可以进行加法和标量乘法,但模中的标量来自一个而不是域。模的定义类似于向量空间,但它只要求标量来自环,因此模比向量空间更广泛。

模的定义:

一个模是一个集合 \(M\),配备了两个运算:

  1. 加法:模中的元素可以相加,满足交换群的公理。
  2. 标量乘法:环中的标量可以与模中的元素相乘,满足结合律和分配律。

例子:

  • 整数集合 \(\mathbb{Z}\) 在自身上构成一个模。
  • 矩阵空间 \(M_n(\mathbb{Z})\) 是一个模,其中标量来自于环 \(\mathbb{Z}\),矩阵中的元素来自于整数。

总结:

  • :一个集合,定义了一个封闭的二元运算(加法或乘法),并且每个元素都有逆元
  • :包含两个运算(加法和乘法),但不要求每个非零元素都有乘法逆元
  • :一个特殊的环,非零元素在乘法下也构成群,即可以进行除法(除零外)
  • :类似于向量空间,但标量来自环而非域,因此更为广泛